Глава 1. Натуральные числа

§ 1. Десятичная система счисления

Системы счисления – это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций. Системы счисления бывают позиционными и непозиционными. Наиболее известные – римская и арабская системы счисления. Римская система относится к непозиционным, то есть значение числа не зависит от положения знака, а арабская система относится к позиционным, значения цифры меняется в 10 раз при перемещении на одно место, и соответственно система называется – десятичная. У древних вавилонян при перемещении знака происходило изменение значения числа в 60 раз, такую систему счисления называют шестидесятеричной. В вычислительной технике применяется двоичная система счисления.
Позиционная система записи чисел арабскими цифрами значительно удобнее и проще римской нумерации. С помощью позиционной системы легко записывать любые числа, как малые, так и большие. Непозиционные системы счисления пригодны только для малых чисел, операций сложения и вычитания, и совершенно непригодны для больших чисел, операций умножения и деления. С арабскими цифрами вы познакомились в начальной школе - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Числа которые могут быть получены в результате счета предметов - 1, 2, 3 и т.д., называют натуральными (число 0 натуральным не является). В Древнем Риме числа записывали при помощи букв латинского алфавита. Эти буквы называют римскими цифрами, а запись числа римскими цифрами называется записью числа в римской нумерации.

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000.

Для записи чисел цифры складывали между собой, либо вычитали. II=1+1=2, III=1+1+1=3, IV=5-1=4. То есть, когда в записи подразумевается вычитание, меньшую цифру (вычитаемое) ставят перед большей (уменьшаемым). IX=10-1=9, XIV=10+5-1=14, XIX=10+10-1=19.

Запись чисел в римской нумерации относительно удобна для небольших чисел, и невероятно громоздкая для больших чисел.

Упражнение 1

111 - CXI = 100+10+1
222 - CCXXII =100+100+10+10+1+1
333 - CCCXXXIII = 100+100+100+10+10+10+1+1+1
444 - CDXLIV = 500-100+50-10+5-1
555 - DLV = 500+50+5

В этом примере видно различие между арабской и римской нумерацией (позиционной и непозиционной системами). В левом столбике в записи каждого числа используется только одна цифра, а в правом - от трех до шести разных цифр. Значение цифры в арабской нумерации зависит от ее места в записи числа, т.е. от ее позиции. И если запись чисел римскими цифрами подразумевает сложение и вычитание, то запись чисел арабскими цифрами подразумевает сложение и умножение:

555 = 500+50+5 = 5*100+5*10+5 - разряд числа перемножается на цифровое значение(запись числа в таком виде называют суммой разрядных слагаемых).

Упражнение 2

Класс триллионов
Класс миллиардов
Класс миллионов
Класс тысяч
Класс единиц
сот.
дес.
ед.
сот.
дес.
ед.
сот.
дес.
ед.
сот.
дес.
ед.
сот.
дес.
ед.
2
4
8
5
9
5
4
3
5
7
8
3
1
8
2
6
3
9

Прочитайте числа, записанные в таблице разрядов. Запишите их, оставляя промежутки между классами.

200 004 085
954 003 057 000 000
831 000 820 000
63 900 000 000 000

Цифра "0" в таблицу разрядов не записывается, а в записи числа без нее не обойтись - именно изобретение этой цифры дало возможность записывать числа позиционным способом, по разрядам.

Упражнение 3

Прочитайте число:

а) DXLV = 500+50-10+5 = 545; б) MDCCLXXXVI = 1000+500+100+100+50+10+10+10+5+1 = 1786;
в) MMMIV = 1000+1000+1000+5-1 = 3004; г) DCLXXXIX = 500+100+50+10+10+10+10-1 = 689.

Упражнение 4

Прочитайте число, запишите его арабскими цифрами:

а) MMDCCCXXII = 1000+1000+500+100+100+100+10+10+1+1 = 2822; б) MCXLIII = 1000+100+50-10+1+1+1 = 1143;
в) CDLXXI = 500-100+50+10+10+1 = 471; г) CCCLXXIX = 100+100+100+50+10+10+10-1 = 379.

Упражнение 5

Запишите, пользуясь римской нумерацией:
а) возраст своих родителей;
б) свой рост в сантиметрах;
в) год своего рождения;
г) длину и ширину учебника по математике в миллиметрах.

а) Вот ряд чисел в римской нумерации:
25 - XXV, 26 - XXVI, 27 - XXVII, 28 - XXVIII, 29 - XXIX, 30 - XXX, 31 - XXXI, 32 - XXXII, 33 - XXXIII, 34 - XXXIV, 35 - XXXV, 36 - XXXVI, 37 - XXXVII, 38 - XXXVIII, 39 - XXXIX.
б) рост в сантиметрах. Все тоже самое, только добавляется число "С" римской нумерации, которое равно 100. Например:
115 см - CXV, 116 - CXVI, 119 - CXIX, 124 - CXXIV, 140 - CXL(100+50-10), 142 - CXLII, 150 - CL и т.д. и т.п.
в) давайте сравним два числа - 1998 и 1999. Числа как числа, отличаются на одну цифру и все. Но это в арабской нумерации. Запишем эти числа римскими числами:
1998 - MCMXCVIII(1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1+1), сразу и не поймешь в этом нагромождении. 1999 - MIM(1000+1000-1), здесь все намного проще. В арабской нумерации все намного проще и удобнее. 2000 - MM, 2001 - MMI, 2002 - MMII, 2003 - MMIII.
г) измеряем длину и ширину учебника. У меня получилось: длина - 219 мм., ширина - 169 мм. 219 в римской нумерации выглядит так - CCXIX, a 169 - CLXIX.

Упражнение 6

Назовите старший разряд и укажите, в каком разряде стоит цифра 7 для каждого из следующих чисел:
а) 5 647; б) 37 536; в) 765 789; г) 656 577 287 500.

а) старший разряд - тысячи (четырехзначное число), 7 в разряде единиц;
б) старший разряд - десятки тысяч (разряд - десятки, класс - тысячи), 7 в разряде тысячи (единицы класса тысяч);
в) старший разряд - сотни тысяч, первая 7 - сотни тысяч, вторая 7 - сотни (класс единиц);
г) старший разряд - сотни миллиардов, первая 7 - десятки миллионов, вторая 7 - единицы миллионов, третья 7 - единицы тысяч.

Упражнение 7

Какие разряды отсутствуют в записи числа:
а) 20 745; б) 289 700; в) 1 234 567; г) 20 304 050?

Смотрим цифру, которую не записываем в таблицу разрядов, то есть "0" и какое место эта цифра занимает:
а) единицы тысяч;
б) отсутствуют единицы и десятки класса единиц;
в) все разряды числа 1 234 567 заняты натуральными числами;
г) отсутствуют разряды - единицы миллионов, десятки тысяч, сотни и единицы.

Упражнение 8

Назовите старший разряд числа 78 255 731 500 201 и укажите, какая цифра стоит в разряде:
а) десятков тысяч; б) миллионов; в) сотен миллиардов; г) триллионов.

Старший разряд - десятки триллионов.
а) в разряде десятков тысяч стоит цифра - 0;
б) в разряде миллионов - 1;
в) в разряде сотен миллиардов - 2 (двенадцатая цифра справа);
г) в разряде триллионов - 8.
Если что не понятно, ставите число в таблицу разрядов и сразу все видно.

Упражнение 9

Вычислите и заполните таблицу:
М. 5*8; К.5*5; Е. 8*7; Ф 5*7;
Т. 4*9; Р. 8*8; А. 9*3; И. 3*8. Вспоминаем таблицу умножения.

М = 5*8 = 40;
К = 5*5 = 25;
Е = 8*7 = 56;
Ф = 5*7 = 35;
Т = 4*9 = 36;
Р = 8*8 = 64;
А = 9*3 = 27;
И = 3*8 = 24. Подставляем буквы в таблицу. Если первое число идет 27, то и ставим букву А (мы вычислили, что А=27)

27
64
24
35
40
56
36
24
25
27
А Р И Ф М Е Т И К А

Зашифрованное слово - раздел математики, посвященный изучению свойств чисел и действий над ними.

Упражнение 10

Запишите и прочитайте наименьшее:
а) шестизначное число; в) десятизначное число;
б) пятизначное число; г) двенадцатизначное число.

Ответ:

а) наименьшее шестизначное число - 100 000 (числа, которые меньше, уже пятизначные);
б) 10 000;
в) 1 000 000 000;
г) 100 000 000 000.

Упражнения 11-28

Упражнения 29-31

Контрольные задания ( по теме: "Десятичная система счисления")